1. Beobachtungsfehler. Mittlerer und wahrscheinlicher Fehler. Der durch eine Messung gewonnene Zahlenwerth einer physikalischen Grösse wird wegen der Unvollkommenheit der Beobachtung mit einem Fehler behaftet sein. Wenn die nämliche Grösse wiederholt gemessen worden ist, so bietet die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein Mittel, um aus der Uebereinstimmung der einzelnen Resultate ein Urtheil über die wahrscheinliche Fehlergrenze zu gewinnen. Wenn die einzelnen Bestimmungen nach der Ansicht des Beobachters alle denselben Grad von Zuverlässigkeit beanspruchen dürfen, so gibt bekanntlich das arithmetische Mittel aus den einzeln gewonnenen Resultaten den wahrscheinlichsten Werth der gesuchten Grösse. Das heisst, man addirt alle einzelnen Werthe und dividirt die entstehende Zahl durch die Anzahl der Bestimmungen. Hierbei mag hervorgehoben werden, dass es im Allgemeinen durchaus ungerechtfertigt ist, aus einer Reihe von Beobachtungen einzelne willkürlich bloss desswegen auszuschliessen, weil sie mit der Mehrzahl nicht übereinstimmen. Der Wahrscheinlichkeit eines bei den abweichenden Zahlen begangenen grösseren Fehlers wird eben durch das arithmetische Mittel von selbst Rechnung getragen; denn als einzelne unter einer grösseren Anzahl haben sie einen geringen Einfluss auf den Mittelwerth. Vergleicht man nun die einzelnen Zahlen mit dem Mittelwerth, so findet man grössere oder kleinere Differenzen, aus deren Betrage der wahrscheinliche Fehler einer Beobachtung sowie derjenige des Resultates nach folgenden Regeln bestimmt wird. Man bildet zuerst die Summe der Fehlerquadrate, das heisst man erhebt die Differenz zwischen jeder einzelnen Beobachtung und dem Mittelwerth in's Quadrat und 27 addirt die entstehenden Zahlen zu einander. Die Summe durch die um 1 verminderte Anzahl der einzelnen Beobachtungen dividirt, gibt das mittlere Fehlerquadrat; die Quadratwurzel aus diesem den mittleren Fehler einer einzelnen Beobachtung. Dividirt man den letzteren endlich durch die Quadratwurzel aus der Anzahl der Beobachtungen, so erhält man den sogenannten mittleren Fehler des Resultates. Die Multiplication des mittleren Fehlers mit 0,6745 (oder 2, oder auch meistens genügend genau mit ) gibt den wahrscheinlichen Fehler. Der letztere Ausdruck will sagen, dass mit gleicher Wahrscheinlichkeit behauptet werden kann, der wirkliche, unbekannte Fehler des gefundenen Werthes sei kleiner, wie er sei grösser als der in dieser Weise abgeleitete wahrscheinliche Fehler." Was das Vorzeichen des Fehlers betrifft, so ist es im Allgemeinen ebenso wahrscheinlich, dass der gefundene Werth zu gross als dass er zu klein ist, was man durch ein dem Fehler vorgesetztes Zeichen anzudeuten pflegt. Bezeichnen wir also durch n die Anzahl der einzelnen Bestimmungen, 8, d... d die Abweichungen derselben von dem arithmetischen Mittel, S die Summe der Fehlerquadrate, d. h. 2 2 2 S = d12 + d22 + ··· + d22, so ist der mittlere Fehler der einzelnen Bestimmung der mittlere Fehler des aus allen als arithmetisches Mittel abgeleiteten Resultates Ueber die Fehlerrechnung bei mehreren unbekannten Grössen vgl. (3). Selbstverständlich wird durch die so berechneten Grössen. nur derjenige Theil des Fehlers ausgedrückt, welcher durch die eigentliche Unsicherheit der Beobachtung entsteht, das heisst durch solche Beobachtungsfehler, die eben so häufig einen zu grossen als einen zu kleinen Werth ergeben. Ausserdem können aber constante Fehler vorhanden sein, deren Ursache in den Angaben der Instrumente oder auch darin gelegen sein kann, dass der Beobachter vorwiegend Fehler in einer bestimmten Richtung macht. Es ist eine besondere Aufgabe, solche Fehler entweder zu ermitteln und dann am Resultat zu corrigiren oder aber solche Combinationen der Beobachtung oder eine derartige Abwechselung der Methoden eintreten zu lassen, dass die constanten Fehler dadurch herausfallen. Beispiel. Die Dichtigkeit eines Körpers wurde zehnmal bestimmt, wobei die folgenden in der ersten Columne enthaltenen Werthe gefunden wurden. Man kann hiernach Eins gegen Eins wetten, dass der Fehler, welchen die einzelne Dichtigkeitsbestimmung dieses Körpers, mit den Instrumenten, der Sorgfalt und der Erfahrung angestellt wie die obigen Beobachtungen, |