kleiner ist als 0,0071. Zufällig ist in der That gerade die Hälfte der obigen einzelnen Abweichungen kleiner, die andere Hälfte grösser als dieser Werth. Der aus einer Reihe von nur 10 Beobachtungen abgeleitete wahrscheinliche Fehler kann nur als eine Annäherung betrachtet werden, so dass die obige Ausrechnung auf zwei Stellen genügt. Ebenfalls hätte anstatt des Factors 0,6745 füglich der Näherungswerth 2/ gesetzt werden können. Es Die obigen Bestimmungen sind von verschiedenen Beobachtern, unter Benutzung verschiedener Gewichtsätze sowie verschiedener Thermometer angestellt worden. Fehler der Wage, welche die Dichtigkeitsbestimmung in einer einseitigen Richtung beeinflussen, sind nicht anzunehmen. würden also von diesen Seiten aus constante Fehler vermieden sein. Damit aber wirklich die oben berechneten Fehlergrössen die wahrscheinlichen Fehler darstellen, müsste man u. A. voraussetzen können, dass alle Beobachter gehörig für Entfernung der Luftbläschen gesorgt haben, welche dem Körper bei der Wägung in Wasser leicht anhaften. Sonst würde in den Beobachtungen ein wenn auch nicht constanter doch einseitiger Fehler enthalten sein, denn durch den erwähnten Umstand kann die Dichtigkeit immer nur zu klein gefunden werden. Dieser etwaige Fehler kann sich also nicht in den Abweichungen vom Mittelwerth aussprechen. 2. Einfluss der Beobachtungsfehler auf das Resultat. Oft finden wir ein Resultat nicht direct durch die Beobachtung, sondern müssen es aus der beobachteten Grösse oder auch aus mehreren solchen durch Rechnung ableiten. So wird die Dichtigkeit eines Körpers aus mehreren Wägungen, der Elasticitätsmodul aus Längenmessungen, die Stärke eines galvanischen Stromes aus dem Ausschlag einer Magnetnadel nach gewissen Formeln berechnet. Hierbei entsteht nun die Aufgabe, zu bestimmen, um wieviel das Resultat fehlerhaft wird, wenn die beobachtete Grösse mit einem gewissen Fehler behaftet ist. Der Zweck dieser Fehlerrechnung kann erstens das Urtheil über die Genauigkeit des Resultates selbst sein. Ferner erfahren wir dadurch, welche Abkürzungen der Rechnung wir uns erlauben dürfen, ohne die Ungenauigkeit merklich zu vergrössern. Sodann ergibt sich aus ihr, wenn die Messung sich aus mehreren Beobachtungen zusammensetzt, auf welchen Theil wir die grösste Sorgfalt zu verwenden haben. Endlich steht es häufig in unserer Gewalt, die Verhältnisse des Versuches in verschiedener Weise anzuordnen: nur diese Fehlerrechnung gibt den Anhaltspunct, welche Wahl der Verhältnisse die günstigste ist d. h. den geringsten Einfluss der Beobachtungsfehler auf das Resultat stattfinden lässt. Solche Betrachtungen sind es, aus denen z. B. die für die Bestimmung der horizontalen Intensität des Erdmagnetismus gegebene Regel folgt, dass es am günstigsten ist, die beiden Abstände des ablenkenden Magnets im Verhältniss 4:3 zu nehmen. Desgleichen gehören hierher die Regeln, dass die Messung der Stärke eines galvanischen Stromes mit der Tangentenbussole den relativ genauesten Werth bei einem Ablenkungswinkel der Magnetnadel von ungefähr 45o liefert; dass die beiden Stromstärken, aus denen der Widerstand oder die elektromotorische Kraft einer galvanischen Säule bestimmt wird, am vortheilhaftesten im Verhältniss 1:2 gewählt werden u. s. f. Bezeichnen wir die beobachtete Grösse durch x, das gesuchte Resultat durch X, so wird als eine Function von x, d. h. durch irgend einen mathematischen Ausdruck gegeben sein, in welchem a vorkommt. Nennen wir nun f den in x begangenen Fehler, so wird der hierdurch hervorgebrachte Fehler von X, den wir F nennen, gefunden dadurch, dass wir in den Ausdruck, aus welchem X berechnet wird, x+f anstatt x einsetzen. Jetzt werden wir ein von dem richtigen Werthe X etwas verschiedenes Resultat finden: die Grösse dieses Unterschiedes ist offenbar der Fehler F. In Anbetracht dessen, dass die Beobachtungsfehler kleine Grössen sind, lassen sich diese Rechnungen sehr vereinfachen. So beachte man zunächst folgende Regeln: 1) Es ist zur Bestimmung des Fehlers im Resultate erlaubt, für die beobachtete Grösse, die wir oben x genannt haben, einen genäherten Werth zu setzen. Eigentlich ist man hierzu ja immer gezwungen, weil der genaue, fehlerfreie Werth eben nicht bekannt ist. 2) Correctionsglieder (4), welche in der Formel für das Resultat 4 vorkommen, können, insofern man nicht etwa deren Einfluss selbst untersucht, bei der Fehlerrechnung vernachlässigt werden. 3) Wenn eine Messung aus mehreren von einander unabhängigen Beobachtungen besteht, so wird das schliessliche Resultat ein aus den einzelnen beobachteten Grössen zusammengesetzter Ausdruck sein. Von diesen können mehrere einen Fehler enthalten. Wenn man aber den Einfluss des in einer Grösse begangenen Fehlers bestimmen will, so braucht man sich um die der andern nicht zu kümmern. 4) Der Fehler im Resultat, welcher aus einem Beobachtungsfehler entsteht, wächst der Grösse des letzteren proportional. Mit anderen Worten: der Fehler des Resultates, die oben durch F bezeichnete Differenz, lässt sich als ein Product darstellen, in welchem der Fehler der beobachteten Grösse der eine Factor ist. 5) Hieraus folgt auch, dass die Fehler des Resultates, welche aus gleich grossen, aber im entgegengesetzten Sinne begangenen Fehlern einer Beobachtung hervorgehen würden, an Grösse gleich sind, aber entgegengesetztes Vorzeichen haben. Ausserdem kann die Rechnung fast immer sehr gekürzt werden, indem man von Näherungsformeln für das Rechnen mit kleinen Grössen Gebrauch macht. Diese lassen sich mit Hülfe der Differentialrechnung leicht zusammenfassen. Ist / der in dem beobachteten Werthe x begangene Fehler, so wird der Fehler F des Resultates X erhalten, indem man den partiellen Differentialquotienten von X nach x mit f multiplicirt. Also Um ohne Differentialrechnung den Ausdruck für den Fehler auf eine einfache Form zu bringen, wird man wenn auch nicht immer, so doch sehr oft den am Schlusse dieses Artikels für die Rechnung mit Correctionsgrössen angegebenen Weg einschlagen können: durch geeignete Umformungen wird zuerst bewirkt, dass der Beobachtungsfehler f nur in einer kleinen zu 1 addirten oder von 1 subtrahirten Grösse vorkommt, worauf die unten gegebenen oder andere geeignete Näherungsformeln zur weiteren Reduction angewandt werden. Wenn das Resultat aus mehreren BeobachtungsDaten zusammengesetzt ist, so kann man nach Nr. 3 (v. S.) den Einfluss der einzelnen Fehler abgesondert untersuchen. Jeder von ihnen kann naturgemäss das Resultat entweder zu klein oder zu gross machen, und je nach dem zufälligen Zusammentreffen der Vorzeichen wird der Gesammtfehler grösser oder kleiner ausfallen. Fehler - Maximum wird erhalten, wenn man die Partialfehler sämmtlich mit gleichem Vorzeichen nimmt. Den durch das Zusammenwirken wahrscheinlich entstehenden Fehler findet man, indem man die zweiten Potenzen der Partialfehler addirt und aus der Summe Das die Wurzel zieht. Die Anwendung dieser Regeln auf einen speciellen Fall wird hinlänglich zur Erläuterung dienen. Wir wählen als Beispiel die Dichtigkeitsbestimmung eines festen in Wasser untersinkenden Körpers auf dem gewöhnlichen Wege, wo der Körper in der Luft und im Wasser gewogen wird. Wir wollen den Einfluss der Wägungsfehler auf die aus diesen Wägungen abgeleitete Dichtigkeit bestimmen. Nennen wir m das Gewicht des Körpers in der Luft, m' sein Gewicht im Wasser, so ist die Dichtigkeit gleich Zu dieser Formel kommen freilich noch die von dem Gewichtsverlust in der Luft und von der Ausdehnung des Wassers herrührenden Correctionen hinzu, aber um diese haben wir uns nach Nr. 2 S. 7 bei der blossen Fehlerrechnung nicht zu kümmern. Nach Nr. 3 dürfen wir die Fehler in m und in m', da beide Beobachtungen von einander unabhängig sind, einzeln betrachten. Untersuchen wir also zuerst den Einfluss eines bei der Wägung in der Luft begangenen Fehlers auf das Resultat. Hätten wir bei dieser Wägung den Fehler f begangen, so würden wir m+f anstatt des richtigen Gewichtes m gefunden haben, würden also die Dichtigkeit erhalten Unter Anwendung der Formel 8, S. 12 schreiben wir hierfür m + f m + f- m' Das erste Glied des zuletzt geschriebenen Ausdruckes ist aber das fehlerfreie Resultat, wonach also den Fehler des Resultates vorstellt, welcher durch den Fehler + f bei der Wägung in der Luft bewirkt wird. Mit andern Worten: wenn man bei der Dichtigkeitsbestimmung eines Körpers, der in der Luft m, im Wasser m' wiegt, das Gewicht in der Luft um f zu gross bestimmt, so m' wird das Resultat, alles Uebrige als richtig vorausgesetzt, um f zu klein. Die Differentialrechnung ergibt ohne Weiteres (m Es ist nach Nr. 5 S. 8 überflüssig, eine besondere Untersuchung über den Einfluss eines zu klein gefundenen Gewichtes anzustellen. Wenn der Fehler der Wägung in der Luft f wäre, so würde das Resultat da durch um f m' zu gross werden. (m-m')2 Betrachten wir zweitens den bei der Wägung im Wasser begangenen Fehler, welchen wir durch f" bezeichnen wollen, setzen wir also m'fanstatt m', so wird das fehlerhafte Resultat, ähnlich wie oben Das heisst: dadurch, dass das Gewicht im Wasser um fzu gross gefun den wird, würde das Resultat um F'f' m zu gross ausfallen. (m — m′)2 Fragen wir endlich nach dem Gesammtfehler, welcher aus den beiden Beobachtungsfehlern fund f zusammengesetzt ist, so hat dieser offenbar den grössten Werth ± wenn entweder m zu gross m'f+mf' und m' zu klein gefunden ist, oder beide umgekehrt. beträgt der Gesammtfehler V (fm)2 + (fm)2 ±VF2+F22 =± (m — m2)2 Wahrscheinlich Nehmen wir hierzu als Zahlen beispiel die Dichtigkeitsbestimmung desselben Körpers, von welchem bereits auf S. 5 gesprochen wurde. Wir haben damals die Fehlergrösse aus der Abweichung der einzeln gewonnenen Resultate von ihrem Mittelwerth bestimmt. Jetzt wollen wir schen, wie grosse Fehler aus der unrichtigen Beobachtung bei dem Wägen zu erwarten sind. Das Gewicht des Stückes war in runden Zahlen Der grösste Wägungsfehler der gebrauchten Wage, bei mässiger Sorgfalt, für Belastungen wie die obige kann auf 5mgr, bei einer Wägung in Wasser, welche wegen der Reibung in dem Wasser weniger genau ist, auf 8mgr geschätzt werden, wonach (Die Fehler müssen stets in derselben Einheit angesetzt werden, wie die beobachteten Grössen selbst.) Die angegebenen Grössen in die obigen Formeln eingesetzt, liefern |