Im ungünstigsten Falle wahrscheinlichen Falle aber beträgt der Gesammtfehler 0,0048, im VF2 + F12 = +0,0035. Wenn also einzelne der obigen Bestimmungen (S. 5) erheblich grössere Abweichungen zeigen, so müssen andere Fehlerquellen als die Unsicherheit der Wägung vorhanden gewesen sein. (Luftbläschen, ungenaue Temperaturbestimmung, fehlerhaftes Abzählen der Gewichtstücke.) Als zweites Beispiel mag die Messung einer galvanischen Stromstärke i mit der Tangentenbussole dienen. Wenn den AblenkungsФ winkel der Nadel bezeichnet, so ist wo C einen für dasselbe Instrument constanten Factor bedeutet. Ist bei der Ablesung des Winkels q ein Fehler f begangen, so folgt der Fehler F in i aus 2 f cos2 Es ist also der in Bruchtheilen von i ausgedrückte Fehler, sin 29 welcher dem Ablesungsfehler f entspricht. Hieraus geht eine für den Gebrauch der Tangentenbussole sehr wichtige Regel hervor, nämlich dass Winkel von ungefähr 45o für die Genauigkeit der Messung am günstigsten sind. Derselbe Ablesungsfehler nämlich bringt einen von dem Ausschlag abhängigen relativen Fehler im Resultat hervor, der sowohl für sehr kleine wie für nahe an 90° kommende Ausschläge sehr gross ist und für 45o ein Minimum hat. Näherungsregeln für das Rechnen mit kleinen Grössen. Wenn in einem mathematischen Ausdrucke einzelne Grössen vorkommen, welche jedenfalls gegen andere darin enthaltene sehr klein sind, und welche daher als Correctionsgrössen bezeichnet werden, so kann man den Ausdruck oft durch Anwendung von Näherungsformeln in eine für die Rechnung bequemere Gestalt bringen. Sehr häufig wird es sich dabei als das einfachste empfehlen, dem Ausdruck zunächst eine Form zu geben, welche die Correctionsgrösse nur in einem zu 1 addirten oder von 1 subtrahirten und gegen 1 selbst sehr kleinen Gliede enthält; nicht selten ist diese Form auch schon von vornherein gegeben. Hierauf wird man oft zur Vereinfachung des Ausdrucks von einer der folgenden Formeln Gebrauch machen können. bezeichneten In diesen Formeln sollen die mit 8, ε, ૐ Grössen gegen 1 sehr klein sein, und zwar so klein, dass ihre zweiten und höheren Potenzen d2, 2.... sowie ihre Producte = 0,005 S.ε, d.... die ja wieder gegen 8, ɛ... selbst sehr klein sind, praktisch gegen 1 vollkommen vernachlässigt werden dürfen. Ist z. B. 80,001, so ist d2 = 0,000001. Wenn etwa ferner & = So wird d.ε = 0,000005. Es kommt oft vor, dass Einflüsse von einigen Tausendteln noch wichtig sind, während einige Milliontel mehr oder einige weniger vollkommen gleichgültig erscheinen. Eine Länge von etwa 1 Meter bis auf Zehntel eines Millimeters genau zu messen, ist meistens sehr leicht. Man wird also nicht eine Correction von ein Tausendtel der Länge, nämlich ein Millimeter vernachlässigen. Ein oder einige Milliontel der ganzen Länge, also Tausendtel Millimeter werden aber in den seltensten Fällen noch von irgend einem praktischen Einfluss sein, da die Beobachtungsfehler viel grösser sind. Unter dieser Voraussetzung gelten, wie leicht zu zeigen ist, die folgenden Formeln, in denen die rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Ausdrücke meist für die Rechnung bequemer sein werden. Wo einer Grösse das oder Zeichen vorgesetzt ist, soll sie überall in der Formel entweder mit dem oberen oder mit dem unteren Zeichen genommen werden. So kann man auch anstatt des geometrischen Mittels zweier nur wenig verschiedener Grössen p1 und p2 das arithmetische setzen (7) (8) sin x cos x, cos (x+8) = cos — ô sin x, in denen einen kleinen Winkel bedeutet, gemessen nach dem Winkel (57o, 3) gleich Eins, für welchen der Bogen dem Radius gleich ist. 3. Bestimmung empirischer Constanten mit kleinsten Quadraten. 13 3. Bestimmung empirischer Constanten mit kleinsten Quadraten. Wenn eine und dieselbe Grösse wiederholt direct gemessen worden ist, so liefert das arithmetische Mittel den wahrscheinlichsten richtigen Werth. Nun aber ist häufig die gesuchte Grösse nicht das direct gemessene Object, sondern muss aus den Beobachtungen nach bekannten physikalischen Gesetzen durch Rechnung abgeleitet werden, und alsdann genügt das arithmetische Mittel nicht immer, um aus wiederholten Messungen das wahrscheinlichste Resultat zu finden. Mathematisch betrachtet, kommt hier die gesuchte Grösse als eine Constante in einer Gleichung vor, welche ausserdem die beobachteten Grössen enthält. Nicht selten sind in dieser Gleichung noch andere unbekannte Constanten vertreten, die gleichzeitig bestimmt oder wenigstens eliminirt werden müssen. Zu diesem Zwecke werden also mindestens so viele Beobachtungen verlangt, als unbekannte Grössen vorkommen; und wenn gerade nur diese Anzahl vorliegt, so werden durch das Einsetzen der beobachteten Werthe in den mathematischen Ausdruck so viele Gleichungen wie Unbekannte gewonnen, aus denen die Letzteren auf gewöhnlichem Wege bestimmt werden. Aber wenn im Interesse der Genauigkeit eine grössere Anzahl von Beobachtungen angestellt worden ist, so muss man, um alles Material auszunutzen, einen anderen Weg einschlagen, eine Arbeit, die durch allerlei Kunstgriffe erleichtert werden kann, besonders dadurch, dass man die Beobachtungen einem zum Voraus bestimmten Plane anpasst. Jedoch verlangen diese Kunstgriffe eine sehr sorgfältige und umsichtige Ueberlegung, um Willkür auszuschliessen, und lassen nicht selten ganz im Stich. Da ist es sehr wichtig, dass die Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Methode der kleinsten Quadrate ein systematisches Verfahren darbietet, nach welchem ohne Willkür gerechnet werden kann. Freilich mag gleich hervorgehoben werden, dass man auch hier oft auf mühsame Rechnungen geführt wird, und desswegen ist ein wiederholter Hinweis auf die grossen Vortheile am Platze, welche ein vor der Beobachtung vollständig durchdachter Plan liefert. Als Beispiel wählen wir die einfache Aufgabe, die Länge eines Stabes für 0° Temp. und seine Verlängerung auf 1o Tempera turerhöhung aus einer Anzahl von Längenmessungen bei verschiedenen Temperaturen abzuleiten. Nennen wir a die Länge bei 0°, b die Verlängerung für 1o, so ist für die Temperatur x die Länge y У = a + bx. a und b sind zwei unbekannte Constanten, zu deren Bestimmung zwei Beobachtungen genügen würden. Hätten wir z. B. für die Temperaturen x1 und x2 die resp. Längen y, und y2 beobachtet, so ist Nun aber mögen mehr als zwei Beobachtungen vorliegen, nämlich ausser den obigen noch die Paare x3, Y3 x4, Y4 U. S. W. Wären die Beobachtungen fehlerfrei, so würden die gesuchten Grössen a und baus irgend welchen zwei Paaren berechnet, dieselben Zahlenwerthe annehmen; und umgekehrt: jeder Werth von y aus dem zugehörigen x nach der Formel mit diesen Constanten berechnet, müsste mit dem beobachteten Werthe identisch sein. In Wirklichkeit aber finden wir der Fehler wegen keine Zahlen für a und b, die den sämmtlichen Beobachtungen völlig genügten. Der Grundsatz der Methode der kleinsten Quadrate sagt: Die Constanten sollen so bestimmt werden, dass die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum wird. Das heisst: Je nach verschiedenen Zahlenwerthen der Constanten werden die mit letzteren aus dem Gesetz berechneten Werthe von den beobachteten um verschiedene Grössen (die Fehler) abweichen. Die wahrscheinlichsten Werthe der Constanten sind diejenigen, bei denen die Summe der zweiten Potenzen aller Abweichungen die möglichst kleine Zahl wird. Bezeichnen wir den mathematischen Ausdruck von bekannter Form, welcher die Abhängigkeit der beobachteten Grösse y von einer anderen x (oder auch von mehreren anderen) darstellt, durch den allgemeinen Ausdruck f(x), so kommen hierin also die gesuchten Grössen als Constanten vor, die wir durch a, b... bezeichnen. Unsere Gleichung also ist Beobachtet seien mehrere Werthe y1 Y2 Yn, welche zu den bekannten Werthen x, x2.... în gehören. Nach obigem Satze sollen die Zahlenwerthe von a, b... so bestimmt werden, dass wenn man sie in f(x) einsetzt, die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den berechneten und den beobachteten Werthen den möglichst kleinen Werth erhält. Also es soll sein Es ist im Auge zu behalten, dass sämmtliche x und y bekannte, beobachtete Grössen sind. Nach einem Satze der Differentialrechnung führt diese Bedingung auf ebensoviele Gleichungen als zu bestimmende Grössen a, b... vorhanden sind. Wir differenziren den Ausdruck (y — f (x))2 nach a, b..., indem wir letztere Grössen als Veränderliche behandeln, und setzen jeden partiellen Differentialquotienten gleich Null. Die Gleichungen, aus denen a, b... zu bestimmen sind, werden also • .. So ist ein von Willkür freier Weg gefunden, auf welchem beliebig viele Beobachtungen gleichmässig benutzt werden können. Freilich kommt es vor, dass bei complicirterer Gestalt von f(x) die durch Differentiation nach a, b entstehenden Gleichungen nicht direct auflösbar sind. Dann muss man durch Probiren und Annäherungsmethoden die Lösung suchen. In dem wichtigen Falle jedoch, wo f(x) die Form hat / (x) a + bx + cx2 + ..., ist die directe Lösung immer möglich. Führen wir die Aufgabe an unserem obigen Beispiel durch. Es seien bei den Temperaturen x1 x2 · xn die Stablängen y1 Y1⁄2·· Yn beobachtet worden. Nach dem Gesetz der Temperaturausdehnung ist y = a + bx; also was wir oben durch f (x) bezeichnet haben ist hier f(x) = Es sollen also a und b so bestimmt werden, dass ... = a + bx. (y1—a—bx1)2 + (y2—a—b x2)2 + . . . + (Yn - abxn)2 Min. oder indem man berücksichtigt, dass bei n. Beobachtungen Σα und Ey-an-bΣx=0 Exy-a Ex-bΣx2: 0 a.n ist, |